ayano_102さん、改めましてこんにちは
さっき仕事先でiMac（Late 2012）を10.9.5にしたので起動を確かめてみました。
こちらではまったく問題なしです。
After Effects CS6：バージョンの記載は11.0.4.2となっています。
ちなみに10.9.4でも利用に問題はありませんでした。
とりあえずayano_102さんの現在のバージョンは11.0.2のようなので
最新版のupdaterを当てて11.0.4にしてください。
Adobe - After Effects : For Macintosh : Adobe After Effects CS6 11.0.4 Update
Proceed to Download＞Download Now でdmgファイルをDLして実行してください。
改善しますように！